Resolução de Modelos de Equações a Diferenças Não Lineares

\[\mathbf{v_t=F(v_{t-1})}\]

\[\mathbf{v_t=v^*+w_t}\]

onde \[\mathbf{w_t}=\begin{bmatrix} w_1(t) \\ w_2(t) \\ ... \\ w_N(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1(t) -x_1^* \\ x_2(t) -x_2^* \\ ... \\ x_N(t) -x_N^* \end{bmatrix}\] Tal que a seguinte versão linear \[\begin{array}{c} x_1(t) = F_1[x_1(t-1),x_2(t-1),...,x_N(t-1)] \\ x_2(t) = F_2[x_1(t-1),x_2(t-1),...,x_N(t-1)] \\ ... \\ x_N(t) = F_N[x_1(t-1),x_2(t-1),...,x_N(t-1)] \end{array}\] onde \(F_i\in i=[1,2,...,N]\) são funções de todas as variáveis (pelo menos, a princípio, podendo ser).

Fique da seguinte forma: \[\begin{array}{c} w_1(t) +x_1^* = F_1[x_1(t-1)+x_1^*,x_2(t-1)+x_2^*,...,x_N(t-1)+x_N^*] \\ w_2(t) +x_2^* = F_2[x_1(t-1)+x_1^*,x_2(t-1)+x_2^*,...,x_N(t-1)+x_N^*] \\ ... \\ w_N(t) +x_N^* = F_N[x_1(t-1)+x_1^*,x_2(t-1)+x_2^*,...,x_N(t-1)+x_N^*] \end{array}\]

Partindo do pressuposto que os incrementos\(w_i(t)\) sejam bem pequenos, ou seja, estejam detro da híper-esfera de raio \(\epsilon\):

\[||x_i(t)-x_i^*||<\epsilon\ll1\] Admitindo-se o premissa anterior, torna-se possível expandir cada um dos \(N\) componentes das funções vetoriais \(F_i\), em série de potências de \(N\). Dessa forma, podemos reter apenas os termos lineares, desprezando os demais. O resultado é o seguinte conjunto de equações acopladas:

\[\begin{array}{c} w_1(t+1)=w_1(t).\left( \frac{\partial F_1}{\partial x_1} \right)_{(\mathbf{v^*})} + w_2(t).\left( \frac{\partial F_1}{\partial x_2} \right)_{(\mathbf{v^*})} + ... + w_N(t).\left( \frac{\partial F_1}{\partial x_N} \right)_{(\mathbf{v^*})} \\ w_2(t+1)=w_1(t).\left( \frac{\partial F_2}{\partial x_1} \right)_{(\mathbf{v^*})} + w_2(t).\left( \frac{\partial F_2}{\partial x_2} \right)_{(\mathbf{v^*})} + ... + w_N(t).\left( \frac{\partial F_2}{\partial x_N} \right)_{(\mathbf{v^*})} \\ ... \\ w_N(t+1)=w_1(t).\left( \frac{\partial F_N}{\partial x_1} \right)_{(\mathbf{v^*})} + w_2(t).\left( \frac{\partial F_N}{\partial x_2} \right)_{(\mathbf{v^*})} + ... + w_N(t).\left( \frac{\partial F_N}{\partial x_N} \right)_{(\mathbf{v^*})} \\ \end{array}\]

onde a equação acima é utilizada para eliminar os pontos fixos de ambos os lados das expressões.

Dessa forma, temos a quantidade de \(N^2\) derivadas parciais das funções \(F_i\) em relação a todas as variáveis dinâmicas \(x_j\), calculadas no ponto fixo \(\mathbf{v^*}\). Definimos a matriz jacobiana como:

\[\mathbf{DF(v^*)}=\begin{bmatrix} \left(\frac{\partial F_1}{\partial x_1}\right)_{(\mathbf{v^*})} \left(\frac{\partial F_1}{\partial x_2}\right)_{(\mathbf{v^*})} ... \left(\frac{\partial F_1}{\partial x_N}\right)_{(\mathbf{v^*})} \\ \left(\frac{\partial F_2}{\partial x_1}\right)_{(\mathbf{v^*})} \left(\frac{\partial F_2}{\partial x_2}\right)_{(\mathbf{v^*})} ... \left(\frac{\partial F_2}{\partial x_N}\right)_{(\mathbf{v^*})} \\ \vdots \\ \left(\frac{\partial F_N}{\partial x_1}\right)_{(\mathbf{v^*})} \left(\frac{\partial F_N}{\partial x_2}\right)_{(\mathbf{v^*})} ... \left(\frac{\partial F_N}{\partial x_N}\right)_{(\mathbf{v^*})} \\ \end{bmatrix}\]

Escrito com notação compacta, se torna: \[\mathbf{w_{t+1}=DF(v^*).w_t} \]