Estimando a Estrutura a Termo da Taxa de Juros - Parte 2/3

O Modelo de Nelson Siegel

Em 1987, Nelson e Siegel¹ tiveram a ideia que ao restringir a taxa zero para que essa seja função especial da convergência para o vencimento. Deixando essa função com parâmetros livres, podemos chegar em curvas que se ajustam as condições de mercado.

A função especial que eles obtiveram possui três partes e a seguinte forma \[r(T)=\beta_0+\beta_1.\frac{(1-e^{-T/\tau})}{T/\tau}+\beta_2.\left(\frac{1-e^{-T/\tau}}{T/\tau}-e^{-T/\tau}\right)\] onde \(\beta_0,\beta_1,\beta_2\) e \(\tau\) são parâmetros constantes e \(T\) é o tempo que falta até a maturidade em unidades anuais. Especificamente, \(\beta_0\) é o parâmetro que define o nível da taxa de longo prazo. Repare que quando \(T\to\infty\), os demais termos da função também tendem a zero. O segundo parâmetro, \(\beta_1\), define o decaimento exponencial ao longo do tempo. Esse decaimento é mais lento a medida que \(\tau\) é maior. O terceiro parâmetro gera a curvatura positiva da curva (se \(\beta_2>0\)) ou curvatura negativa (se \(\beta_2<0\)).

Para entender o efeito isolado dos três componentes, desenvolvemos o seguinte script abaixo para demonstrar que a curva é a soma dos efeitos: taxa de longo prazo, decaimento e curvatura.

rm(list = ls())

beta_0 <- 0.02
beta_1 <- 0.02
beta_2 <- 0.20
tau    <- 2.00
T      <- seq(from = 0, to =  100, by = 0.1)

ETTJ <- beta_0 + beta_1*(1-exp(-T/tau))/(T/tau) + beta_2*((1-exp(-T/tau))/(T/tau) - exp(-T/tau))

Time_Decay <- beta_1*(1-exp(-T/tau))/(T/tau)
Hump       <- beta_2*((1-exp(-T/tau))/(T/tau) - exp(-T/tau))


# Plot da Figura com a Curva Nelson Siegel
plot(T,ETTJ*100, type = "l", ylim = c(0,10), lwd = 2,
     main = "ETTJ - Simulação da Curva Nelson Siegel",
     ylab = "Yield to Maturity (ou TIR)", 
     xlab = "Prazo de Maturidade")
lines(T,Time_Decay*100, type = "l", lty = 2, lwd = 2 ,col = "red")
lines(T,Hump*100, type = "l", lty =3, lwd = 2, col = "blue")
abline(h = beta_0*100, lty = 5, col = "gray", lwd =2)
grid(nx = NULL, ny = NULL, lty = "dotted", col = "lightgray")
legend("topright",
       c("Curva Nelson Seigel",
         "Decaimento Temporal",
         "Curvatura",
         "Tx. de Longo Prazo"),
     col = c("black","red","blue","gray"), 
     lty = c(1,2,3,5), cex = 0.8, inset = 0.05,
     lwd = c(2,2,2,2))

Na sequência, iremos agora utilizar o método para estimar a curva com dados reais. Apesar a forma não linear da função, ela pode ser facilmente linearizada para ser estimada por MQO. Não precisaremos fazer isso, uma vez que já existe no R um pacote específico para lidar com a estimação de NS, sendo esse o pacote YieldCurve.

Para não ser omisso, cabe aqui destacar que também há outros desdobramentos do modelo anterior. O principal é o modelo de Svensson (1994)²³. Esse avança ao introduzir um novo termo, da seguinte forma: \[r(T)=\beta_0+\beta_1.\frac{(1-e^{-T/\tau})}{T/\tau}+\beta_2.\left(\frac{1-e^{-T/\tau}}{T/\tau}-e^{-T/\tau}\right)+\beta_3.\left(\frac{1-e^{-T/\tau_2}}{T/\tau_2}-e^{-T/\tau_2}\right)\] O último termo, \(\beta_3\), visa capturar o ajuste da curva a movimentos a movimentos instantâneos de juros, de maneira a permitir mais um extremo na curva. No próximo post, iremos utilizar o modelo NS para estimar dados da ETTJ para a economia brasileira.